Model gwiazdy na ciągu głównym

Do opisu wnętrz gwiazd stosuje się modele teoretyczne. Model gwiazdy na ciągu głównym tworzy się w oparciu o następujące zasady:

• gwiazda pozostaje w równowadze hydrostatycznej (ciśnienie gazu, a w jądrze również ciśnienie promieniowania, równoważone przez siły grawitacji)
• emitowana energia jest zastępowana nową energią, produkowaną we wnętrzu gwiazdy (jest to tzw. zasada równowagi termicznej: poszczególne warstwy gwiazdy mają stałe temperatury)
• transport energii w gwieździe następuje poprzez promieniowanie i/lub konwekcję
• gaz zawarty w gwieździe w przybliżeniu spełnia równanie stanu gazu doskonałego

Podstawowe równania modelu gwiazdy to cztery równania różniczkowe, opisujące radialne zmiany masy, ciśnienia, mocy promieniowania i temperatury gwiazdy. Równanie na pochodną temperatury ma dwie wersje: jedną dla gwiazd o konwektywnym transporcie energii w otoczce, drugą -- dla transportu promienistego:

$$\frac{dM}{dr} = 4\pi r^2 \rho(r)$$ (3.5)

$$\frac{dp}{dr} = -\frac{GM(r)}{r^2}\rho(r)$$ (3.6)

$$\frac{dL}{dr} = 4\pi r^2 \rho(r) \varepsilon$$ (3.7)

$$\frac{dT}{dr} = -\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{GM}{r^2}\frac{\mu}{R}$$ (3.8)

$$\frac{dT}{dr} = -\frac{3\kappa}{4ac}\frac{\rho(r)}{T^{3}(r)} \frac{L(r)}{4\pi r^2}$$ (3.9)

gdzie: $G$ -- stała grawitacji, $\varepsilon$ -- współczynnik określający ilość energii produkowanej w wyniku reakcji termojądrowych w jednostce masy gazu na jednostkę czasu, $\gamma$ -- współczynnik Poissona ( $\gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}$), $\kappa$ -- współczynnik nieprzezroczystości, $a$ -- współczynnik ze wzoru na ciśnienie promieniowania ciała doskonale czarnego ( $p=\frac{1}{3}aT^4$), równy $a=4\frac{\sigma}{c}$ ($\sigma$ -- stała Stefana-Boltzmana, $c$ -- prędkość światła).

Dodatkowo mamy jeszcze równanie stanu gazu doskonałego:

$$p=\frac{k}{\mu m_{\rm H}} \rho T$$ (3.10)

gdzie $k$ -- stała Boltzmana, $m_{\rm H}$ -- masa atomu wodoru, a średnią masę cząsteczkową gazu w gwieździe otrzymuje się ze wzoru:

$$\mu = \frac{1}{2X + \frac{3}{4}Y + \frac{1}{2}Z}.$$

W relacji tej zmienne $X, Y, Z$ określają procentową zawartość, odpowiednio, wodoru, helu i metali.

Wyznaczając z równania stanu funkcję gęstości $\rho(r)$ i podstawiając ją do pozostałych równań różniczkowych, otrzymujemy układ czterech równań różniczkowych pierwszego rzędu. Poza stałymi fizycznymi występują w nich parametry $\mu$, $\varepsilon$ i $\kappa$, zależne od $p(r)$, $T(r)$ oraz składu chemicznego $X, Y, Z$.

By z układu równań różniczkowych otrzymać funkcje $M(r)$, $p(r)$, $L(r)$ i $T(r)$, opisujące wnętrze gwiazdy, musimy podać warunki brzegowe. Na powierzchni gwiazdy ($r=R$) mamy: $M(R)=\mathfrak{M}$, $p(R)=0$, $L(R)=L$, $T(R)=0$, a w jej środku ($r=0$): $M(0)=0$, $L(0)=0$. Występujące tu dodatkowe parametry: promień gwiazdy, jej masa i moc promieniowania, znane są z obserwacji. Ponieważ ilość warunków brzegowych (mamy ich sześć) przewyższa ilość równań różniczkowych (cztery), istnieje wiele rozwiązań tego układu. Dopiero ich porównanie z obserwacjami pozwala na wybranie tych, które występują w rzeczywistości.